Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Совсем недавно мы писали о новой головоломке под названием «игра в конфигурации». Она допускает разнообразные модификации и обобщения, предлагаем рассмотреть самые интересные из них.

  • Если вы еще не прочли наш лонгрид об игре в конфигурации — скорее переходите по ссылке, а затем возвращайтесь и изучайте более сложные варианты игры.

Теперь вместо крестиков будем использовать цветные квадратики — составленные из них конфигурации воспринимаются легче. Кроме того, их можно быстро и легко рисовать в Word’е, используя цветовую заливку табличных ячеек.

Игра «Не больше трех»

Единственное правило выставления квадратиков здесь следующее: по вертикали, горизонтали и диагоналям не должно стоять более трех соседних (соприкасающихся) квадратиков. Соответственно, допустимы изолированные и объединенные лишь в пары квадратики. В качестве затравки используется пустое поле.

Самая интересная задача состоит в нахождении минимальных и максимальных полных конфигураций для заданных конечных полей, представляющих собой различные геометрические фигуры.

Даже в простейших случаях мы сталкиваемся с нетривиальными задачами комбинаторной геометрии. Рассмотрим, для начала, квадратное поле 4х4, представленное на рисунке 1. Далее листайте галерею право.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 1 Минимальной полной конфигурацией для него будет квадрат, составленный из 3x3=9 квадратиков, примыкающий к любому из четырех углов поля (рис. 2). Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 2 Максимальная полная конфигурация представлена на рис. 3. Число квадратиков в ней равно 12. Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 3 Есть ли другие, принципиально отличные от приведенных выше, минимальные и максимальные полные конфигурации? Найдите для этого же поля полную конфигурацию с каким-нибудь промежуточным числом квадратиков, например, 11. Решение представлено на рис. 4. Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 4 Рассмотрим теперь квадратное поле 5x5 (рис. 5). смотреть ещё раз

  • Девушки и автомобили: все розовые автомобили «Моделей года» Playboy 11
  • Wilson Combat: самые красивые кастомные «пушки» 26
  • Wings For Victory: авиационные британские плакаты 1940-х годов 6
  • Рекламные плакаты автомобильных компаний 1910−1930-х 12
  • Рекламные фотографии советских тракторов: «Трактороэкспорт» 10
  • Рекламные фотографии советских автомобилей: «Автоэкспорт» 12

Рассмотрим теперь квадратное поле 5x5 (рис. 5). Далее листайте галерею право.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 5 Минимальная полная конфигурация для него, представленная на рис. 6, тоже состоит из 9 квадратиков. Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 6 Максимальная полная конфигурация состоит из 17 квадратиков (ее варианты представлены на рис. 7 и 8). Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 7 Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 8 Найдите другие максимальные полные конфигурации для этого поля. Несложно найти минимальную полную конфигурацию для квадрата 6x6 (рис. 9). Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 9 Найдите для него максимальную полную конфигурацию. Найдите минимальную и максимальную полные конфигурации для квадратных полей 7x7, 8x8 и т. д. смотреть ещё раз

  • Девушки и автомобили: все розовые автомобили «Моделей года» Playboy 11
  • Wilson Combat: самые красивые кастомные «пушки» 26
  • Wings For Victory: авиационные британские плакаты 1940-х годов 6
  • Рекламные плакаты автомобильных компаний 1910−1930-х 12
  • Рекламные фотографии советских тракторов: «Трактороэкспорт» 10
  • Рекламные фотографии советских автомобилей: «Автоэкспорт» 12

Перейдем к полям иных форм. Интереснейший случай — крестообразное поле, изображенное на рис. 10.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 10

Найдите для него минимальную полную конфигурацию.

Решив подобную задачу для квадратных полей небольших размеров, можно было бы предположить, что и в данном случае элементами минимальной полной конфигурации будут квадраты, составленные из 3х3=9 квадратиков, или близкие к ним фигуры.

На рис. 11 и 12 представлены соответствующие гипотетические решения.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 11 Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 12 смотреть ещё раз

  • Девушки и автомобили: все розовые автомобили «Моделей года» Playboy 11
  • Wilson Combat: самые красивые кастомные «пушки» 26
  • Wings For Victory: авиационные британские плакаты 1940-х годов 6
  • Рекламные плакаты автомобильных компаний 1910−1930-х 12
  • Рекламные фотографии советских тракторов: «Трактороэкспорт» 10
  • Рекламные фотографии советских автомобилей: «Автоэкспорт» 12

Но, оказывается, это не минимальные полные конфигурации, а… наоборот, максимальные. Число квадратиков в них равно 33.

Минимальные же полные конфигурации совершенно иные. Они представлены на рис. 13 и 14. Число квадратиков в них равно 24. Парадоксальным образом, в них встречаются элементы, входящие в максимальные полные конфигурации для квадратных полей.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 13 Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 14 смотреть ещё раз

  • Девушки и автомобили: все розовые автомобили «Моделей года» Playboy 11
  • Wilson Combat: самые красивые кастомные «пушки» 26
  • Wings For Victory: авиационные британские плакаты 1940-х годов 6
  • Рекламные плакаты автомобильных компаний 1910−1930-х 12
  • Рекламные фотографии советских тракторов: «Трактороэкспорт» 10
  • Рекламные фотографии советских автомобилей: «Автоэкспорт» 12

Найдите минимальные и максимальные полные конфигурации для ступенчатых диагональных квадратов разных размеров (квадрат 4х4 такого рода представлен на рис. 15).

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 15

В игре «Не больше трех» интересны и полные конфигурации на бесконечном поле. Поскольку число квадратиков в них бесконечно, в качестве количественной меры следует использовать плотность, равную пределу (если он существует) отношения n/Sk при k→∞, где Sk = k х k — площадь квадрата со стороной k, а n — число заключенных в нем квадратиков. Плотность не должна зависеть от выбора последовательности увеличивающихся квадратов.

Плотность полной конфигурации, изображенной на рис. 16, очевидно, равна 9/16= 0,5625. Исходя из минимальных полных конфигураций для конечных квадратных полей, можно предположить, что данная полная конфигурация тоже минимальна.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 16 Найдите плотность полной конфигурации, представленной на рис. 17. Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее! Рисунок 17 смотреть ещё раз

  • Девушки и автомобили: все розовые автомобили «Моделей года» Playboy 11
  • Wilson Combat: самые красивые кастомные «пушки» 26
  • Wings For Victory: авиационные британские плакаты 1940-х годов 6
  • Рекламные плакаты автомобильных компаний 1910−1930-х 12
  • Рекламные фотографии советских тракторов: «Трактороэкспорт» 10
  • Рекламные фотографии советских автомобилей: «Автоэкспорт» 12

Максимальная полная конфигурация на бесконечном поле и ее плотность автору пока не известны. Быть может, на этот вопрос сможет ответить наш читатель?

Источник

Каким будет музыкальный рынок через 10 лет